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说明360的约数有多少个？这些约数的和是多少？

（第三届华杯决赛题）

 

思路分析：这道题可以一一列出360的约数、数出约数的个数并求和，但360的约数比较多，这样做很麻烦，为此可以考虑把360分解质因数：

360=23×32×5

如果d是360的约数，那么把d分解成质因数的连乘积之后，应该有以下两点：

（1）d的质因数只能有2、3、5这三者，不能有其他的质因数；

（2）d的

每个质因数再d的分解式中的指数（即这个质因数的个数）不能超过在360的分解式中这个质因数的指数。例如，d如果有质因数2，那么，2的指数不能超过3（360的质因数分解式中，2的指数是3），即2的指数只能为3、2或1。换句话说，在d的质因数分解式中，质因数2的状况可能为：没有质因数2，有1个质因数2（即2的指数为1），有2个质因数2（即2的指数为2），有3个质因数2（即2的指数为3），共有4种情况。同样，质因数3在d的分解式中有3种可能的状况，而质因数5在d的分解式中有2种可能的状况，于是d共有4×3×2种可能，即360有24个约数。

为了求出360的这24个约数的和，可先试着写出这24个约数的和，可先试着写出这24个数的和式进行分析

约数和=1+2+22+3+2+3+22×3+23×3+32+2×32+22×32+23×32+5+2×5+22×5+23×5+3×5+2×3×5+22×3×5+23×3×5+32×5+2×32×5+22×33×5+23×5。

可以看出，后12个约数是12个约数种对应数乘以5而得，于是

约数和=（1＋21＋23＋23＋1×3＋2×3＋22×3＋23×3＋1×32＋2×32＋22×32＋23×32）×（1＋5）。

而在前面一个括号中，当中4个加数相当于前4个对应加数乘以3而得，后4个加数相当于前4个对应加数乘以32而得，于是

约数和=（1＋2＋22＋23）×（1＋3＋32）×（1＋5）。

解：360=23×32×5

∴360的约数共有（3＋1）×（2＋1）＋（1＋1）

=4×3×2

=24（个）。

∴360的约数和=（1＋2＋22＋23）×（1＋3＋32）×（1＋5）

=15×13×6

=1170

答：（略）。

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