数 学
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式
，其中R表示球的半径
球的体积公式
，其中R表示球的半径
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数
，在复平面内，z所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 极限
存在是函数
在点
处连续的（ ）
A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件
3. 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若
；
②若
；
③若
；
④若m、n是异面直线，
其中真命题是（ ）
A. ①和② B. ①和③ C. ③和④ D. ①和④
5. 函数
的反函数是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 若
，则
的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 在R上定义运算
若不等式
对任意实数
成立，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
8. 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（ ）
A. （1，2） B. （2，+∞） C. [3，+∞
D. （3，+∞）
9. 若直线
按向量
平移后与圆
相切，则c的值为（ ）
A. 8或－2 B. 6或－4 C. 4或－6 D. 2或－8
10. 已知
是定义在R上的单调函数，实数
，
，
，
，若
，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
11. 已知双曲线的中心在原点，离心率为
。若它的一条准线与抛物线
的准线重合，则该双曲线与抛物线
的交点到原点的距离是（ ）
A. 2+
B. 
C. 
D. 21
12. 一给定函数
的图象在下列图中，并且对任意
，由关系式
得到的数列
满足
，则该函数的图象是（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 
的展开式中常数项是 。
14. 如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 。
15. 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 个。（用数字作答）
16. 
是正实数，设
是奇函数}，若对每个实数
，
的元素不超过2个，且有
使
含2个元素，则的取值范围是 。
三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB。
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长。
18. （本小题满分12分）
如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0。
（Ⅰ）将十字形的面积表示为
的函数；
（Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
19. （本小题满分12分）
已知函数
。设数列
}满足
，数列
}满足
。
（Ⅰ）用数学归纳法证明
；
（Ⅱ）证明
。
20. （本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级。对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
表一
工序 概 率 产品 | 第一工序 | 第二工序 |
甲 | 0.8 | 0.85 |
乙 | 0.75 | 0.8 |
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
