表二
等级 利 润 产品 | 一等 | 二等 |
甲 | 5（万元） | 2.5（万元） |
乙 | 2.5（万元） | 1.5（万元） |
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示。该工厂有工人40名，可用资金60万元。设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，
最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
表三
项目 用 量 产品 | 工人（名） | 资金（万元） |
甲 | 8 | 5 |
乙 | 2 | 10 |
21. （本小题满分14分）
已知椭圆
的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足
。点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
。
（Ⅰ）设
为点P的横坐标，证明
；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积
。若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由。
22. （本小题满分12分）
函数
在区间（0，+∞）内可导，导函数
是减函数，且
设
是曲线在点（
）处的切线方程，并设函数
（Ⅰ）用
、
、
表示m；
（Ⅱ）证明：当
；
（Ⅲ）若关于
的不等式
上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系。
【试题答案】
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1. B 2. B 3. D 4. D 5. C 6. C
7. C 8. B 9. A 10. A 11. B 12. A
二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
13. 
14. 
15. 576 16. 
三、解答题
17. 本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考
查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分。
（Ⅰ）证明： 连结CF。
……4分
（Ⅱ）解法一：
为所求二面角的平面角
设AB＝a，则
……………………8分
解法二：设P在平面ABC内的射影为O
≌
≌
得PA=PB=PC
于是O是△ABC的中心
为所求二面角的平面角
设AB=a，则
…………8分
（Ⅲ）解法一：设PA＝x，球半径为R
，
，
，得
∴△ABC的边长为
………12分
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径
连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形
设AB＝x，球半径为R
…………12分
18. 本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力。满分12分。
（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则
………………4分
（Ⅱ）解法一：
其中
………8分
当
最大。……10分
所以，当
最大
S的最大值为
…………12分
解法二：因为
所以
……………………8分
令S”＝0，即
可解得
………………10分
所以，当时，S最大，S的最大值为
…………12分
19. 本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分。
（Ⅰ）证明：当
因为a1=1，所以
………………2分
下面用数学归纳法证明不等式
（1）当n=1时，b1=
，不等式成立。
（2）假设当n=k时，不等式成立，即
那么
………………6分
所以，当n=k+1时，不等式也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
所以
…………10分
故对任意
………………（12分）
20. （本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12分。
